자 드가자~~ 거의 다 왔다. LS 배웠고 LP 배웠고 QP도 배웠다.

Context

1. SOCP 정의 + show convexity
2. figure out the rationale behind the name
3. Show it subsumes LP, LS, QP as special case
4. Only one application(CP/Chance Programming)

1. SOCP def and convexity

$$ \begin{align}&\min_{x \in \mathbb{R}^d} w^T x : \\&\|A_i x - b_i\| \leq c_i^T x + e_i \quad i = 1, \cdots, m \\&F x = g\end{align} $$

(2) 조건 식이 더러우니 한번 정리를 해보자

정리하기 전에 수식 형태를 보면 (1) 은 affine하고 (2)도 affine, (3)도 affine하다. 좋아.

(2) 직관적으로 안 와닿으니 예시를 들어보자.

$$ \begin{align}\|A_i x - b_i\| &\leq c_i^T x + e_i \\A_i &= I, b_i = 0 \\c_i^T x + e_i &= t \\\|x\| &\leq t \\&\{(x, t) \in \mathbf{R}^{d+1} : \|x\| \leq t\}\end{align} $$

(4)에 (5)의 조건을 넣고 (6)의 조건도 적용해보자.

||이렇게쓰는 것은|| L2 norm 이라고 하는 유클리디안 norm이다. $L_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+ x_n^2}$

이렇게 되면 경계조건이 원뿔의 형태를 띄고 이런 방정식을 우리는 Second-order Cone(SOC)라고 부른다.